半場預測的數學：入球時間分佈與 Poisson 過程

半場為什麼難預測？

一場足球賽 90 分鐘，上半場只有 45 分鐘。時間減半帶來的不是「機率減半」，而是整個方差結構的改變：

入球期望值大約只剩 45%（不是 50%——上半場補時較短、開局謹慎）
入球越少，0:0 與平局機率急升
強隊的優勢被時間壓縮——「遲早會贏」在半場語境下變成「未必來得及」

所以半場盤的三路機率從來不是全場機率的簡單拷貝。本文展示如何用一個世紀老的統計工具—— Poisson 過程——從公開的全場賠率把它推導出來。

Poisson 入球模型

自 Mahalanobis（1930 年代）與 Reep、Pollard（1968）的研究起，統計學家就知道：足球入球時間接近齊次 Poisson 過程。若主隊全場入球期望為 λ_H、客隊為 λ_A，則主隊入 k 球、客隊入 j 球的聯合機率為兩個獨立 Poisson 的乘積：

P(k, j) = Pois(k; λ_H) × Pois(j; λ_A)

Pois(k; λ) = e^(−λ) × λ^k / k!

把所有主隊多勝的比分加總，就是全場主勝機率：

P(主勝) = Σ_{k>j} P(k, j)     P(和局) = Σ_{k=j} P(k, j)     P(客勝) = Σ_{k<j} P(k, j)

兩個獨立 Poisson 之差服從 Skellam 分佈——這是半場推導的理論基礎。

第一步：從全場賠率反推 λ

問題：賠率只告訴我們三路機率與大細傾向，不直接告訴我們 λ。怎麼辦？反著算——找一組 (λ_H, λ_A) 使模型輸出的三路機率與大細機率，同時貼近市場隱含值：

minimize  [P_model(主勝) − P_mkt(主勝)]²
        + [P_model(和局) − P_mkt(和局)]²
        + [P_model(客勝) − P_mkt(客勝)]²
        + [P_model(大於門檻) − P_mkt(大)]²   # 來自大細盤

其中  P_mkt  由賠率倒數歸一化得到（見《隱含機率》一文）

這是一個只有兩個未知數的小型擬合問題，網格搜尋（粗 0.15 → 細 0.03 步長）在瀏覽器上每場不到 5 毫秒。

第二步：折半到上半場

入球時間的實證研究（多個聯賽、數萬場樣本）顯示：上半場入球約佔全場的44%–46%。取中位數 0.45，折半後的入球率：

λ_H(半場) = 0.45 × λ_H          λ_A(半場) = 0.45 × λ_A

然後用同一套 Skellam 求和，得到半場三路機率。

注意：折的是「入球率的時間比例」，不是「機率」。0.45 這個數字來自入球時間分佈的實證研究，不是拍腦袋。

真實案例

以一場芬蘭超級聯賽為例（公開賠率，2026 年 9 月）：

盤口	主	和	客
全場 HAD 賠率	1.49	3.90	4.85
全場隱含機率	59.2%	22.6%	18.2%
半場 FHA 賠率（官方）	1.96	2.32	5.00
半場官方隱含	44.7%	37.8%	17.5%
半場模型推導	43.9%	38.6%	17.5%

模型擬合出 λ_H=1.92、λ_A=0.96（大細盤 2.5 球同時納入擬合）。折半後推導的半場三路與官方半場池的隱含機率，最大偏差只有0.8 個百分點。

三個不同聯賽的真實樣本驗證：

比賽	最大方向偏差	結論
拉迪 vs 查路（芬超）	0.8 pp	一致
大城聯 vs 烏泰他尼（泰超）	1.4 pp	一致
紐維爾女足 vs 甘拿斯亞女足	1.5 pp	一致

為什麼半場平局這麼多？

看上表的和局列：全場 22.6% → 半場 38.6%。原因在 Poisson 的零膨脹特性：

P(0:0) 全場 = e^(−λH) × e^(−λA) = e^(−2.88) ≈ 5.6%
P(0:0) 半場 = e^(−0.864) × e^(−0.432) ≈ 19.6%   # 折半後 λ 更小

入球率被時間壓縮後，0:0 與所有平局比分的機率大幅上升。這就是半場盤「和局永遠是熱門之一」的數學根源。

這個模型在平台上的用途

官方半場池未開售時——模型推導提供研究參考值
官方池開售後——模型與官方隱含機率做交叉驗證；兩者分歧超過 8 個百分點時，標記為「市場偏差研究訊號」（見下篇）

模型限制

齊次 Poisson 假設忽略了「比分牽動節奏」的動態（領先方收縮防守）
Dixon-Coles 低分校正未納入（見該篇）
紅牌、傷停等事件不在賠率資訊內

這些限制正是模型與官方池之間那 1–2 個百分點偏差的來源。

延伸閱讀：Dixon-Coles 校正 ·隱含機率 ·市場偏差訊號

參考文獻：Reep, C. & Pollard, R. (1968). Skill and chance in association football. Journal of the Royal Statistical Society A, 131(4), 581–585. · Dixon, M. J. & Coles, S. G. (1997). Modelling Association Football Scores... Applied Statistics, 46(2), 265–280.