一個根本問題
假設你有一個預測模型，勝率 60%，賠率 2.0。你應該把全部資金押上嗎？
不。
這是 Kelly Criterion（凱利公式）要回答的核心問題： 在已知勝率與賠率下，單次下注應該佔總資金的多少比例， 才能讓長期資產增長率最大化？
Kelly 公式（1956）
John Larry Kelly 1956 年在貝爾實驗室提出：
f* = (bp - q) / b其中：
f*= 最佳下注比例（佔總資金）b= 賠率淨值（b = odds - 1）p= 勝率q= 敗率 = 1 - p
一個具體例子
- 勝率 p = 0.6
- 賠率 odds = 2.0，淨值 b = 1.0
- 敗率 q = 0.4
代入：
f* = (1 × 0.6 - 0.4) / 1 = 0.2最佳下注：總資金的 20%。
押 100 元，期望值：
EV = 100 × (0.6 × 1 - 0.4 × 1) = 20短期不一定贏，但長期資產增長率 ln(1 + f·b)·p + ln(1 - f)·q 達到最大。
為什麼不是「全押」？
直覺上，「高勝率就該 All-in」。但數學會打臉：
| 策略 | 單次期望值 | 長期 100 次後 |
|---|---|---|
| 100% All-in | +20 元 | 大概率破產（40% 機率歸零） |
| 20% Kelly | +20 元 | 資產增長 ≈ 2.7× 初始 |
| 10% Half-Kelly | +10 元 | 資產增長 ≈ 1.9× 初始 |
全押雖然單次期望值最高，但破產風險讓期望值歸零。 Kelly 公式的本質是平衡回報與破產風險。
負期望值：何時不該下注
如果 bp < q，Kelly 公式給出 f* < 0——意思是不該下注。
例子：
- 勝率 p = 0.4
- 賠率 odds = 1.5，b = 0.5
- 敗率 q = 0.6
f* = (0.5 × 0.4 - 0.6) / 0.5 = -0.4負值代表「不參與」。 這就是凱利公式最強大的地方：它能告訴你「這場不值得」。
多重結果的凱利（多元下注）
若有多個互斥結果（如同場多匹馬、足球三種結果），公式變為：
fᵢ* = max(0, pᵢ/bᵢ - (Σ pⱼ/bⱼ - 1) / Σ bⱼ)實務上，我們的後端用這套公式回測歷史內部多達數千場的價值訊號， 僅作研究用途。
Fractional Kelly：實務妥協
純 Kelly 在現實中過於激進——它假設：
- 你能精確估計勝率（但模型估計必有誤差）
- 賠率在你下注到結算之間不變（但市場會動）
- 你有無限流動性（但有上限）
所以實務常用 Fractional Kelly：
- Half-Kelly（½ Kelly）：下注比例砍半，長期回報少 25%，波動率少 50%——多數專業玩家的甜蜜點。
- Quarter-Kelly（¼ Kelly）：更保守， 適合新手或不確定模型精度的場景。
我們的回測模型內部使用 Quarter Kelly 作為基準， 以最大化穩健性。
為什麼我們公開 Kelly Criterion？
Kelly 公式屬於公開學術知識（1956 年發表）， 任何對量化投資、量化博彩有興趣的人都應該學。
更重要的是，在香港法律框架下，我們不能引導使用者下注—— 但我們可以教育使用者「下注的數學原理是什麼」。 這是教育與促銷的本質區別：
教育告訴你數學怎麼運作。
促銷告訴你「你應該這樣做」。
我們選擇前者。
與 Brier Score 的關聯
Kelly 公式要勝率 p，但 p 從哪來？答案就是我們前兩篇文章談的：
- Brier Score：衡量你的 p 估計有多準
- 隱含機率：市場的 p 是多少
三者合在一起，就構成完整的量化體育分析閉環：
市場隱含機率 → 你的模型機率 → Brier 校驗 → Kelly 配置我們的後端每分鐘跑一次這個閉環，產生數據快照寫入 D1，僅供研究回測，不對外開放任何即時下注建議。
延伸閱讀：Brier Score：統計學校準指標 · 隱含機率：從賠率讀出市場看法
參考文獻：Kelly, J. L. (1956). A New Interpretation of Information Rate. Bell System Technical Journal. · Thorp, E. O. (2006). The Kelly Criterion in Blackjack, Sports Betting, and the Stock Market.